Александр Стовба родился 19 июля 1957 года в Днепропетровске. Вскоре семья переехала в Днепродзержинск, где его родители работали на коксохимическом заводе. Будущий Герой Советского Союза окончил 10 классов. Неудачно пытался поступить в военное учебное заведение. В 1975 году все же сумел поступить в Киевское высшее общевойсковое командное училище имени Фрунзе. 

С января 1980 года лейтенант Стовба служил в Афганистане. Был командиром мотострелкового взвода в составе 66-й отдельной мотострелковой бригады. 29 марта 1980 года его взвод был окружен в районе населенного пункта Серан в провинции Кунар. Получив ранение в ногу, лейтенант Стовба остался прикрывать отход своего подразделения и погиб.

Указом Президиума Верховного Совета СССР за мужество и героизм, проявленные при исполнении воинского долга в республике Афганистан, лейтенанту Александру Ивановичу Стовбе посмертно присвоено звание Героя Советского Союза. Похоронен воин на кладбище города Днепродзержинска.

Уже после своей смерти Александр Стовба получил известность как поэт. В 1981 году в Днепропетровске был издан первый сборник его стихов «Песня грозы сильней». В 1982 году вышел сборник в Москве. В 1984 году Стовба был посмертно принят в Союз писателей СССР.

Александр Стовба — кавалер ордена Ленина посмертно. За сборники стихов «Земля рождается в огне» и «За тебя — в атаку!» в 1987 году он посмертно был удостоен премии Ленинского комсомола. 

В память о герое в Днепродзержинске перед школой №20, где он учился и которая носит его имя, открыт памятник поэту. Его именем названы улицы в Днепродзержинске и в Желтых Водах, школы на Днепропетровщине. Ему посвящены стихотворения и написаны книги. О герое был снят документальный фильм. Появилась областная литературная премия имени Александра Стовбы.

В честь Александра Стовбы назван детский оздоровительный лагерь «Аист» возле села Великая Гомольша Змиевского района Харьковской области. Это тем более символично, что свои творческие работы Александр Стовба подписывал инициалами АИСт.

В 1980-1990-х годах в окрестностях Днепродзержинска ежегодно проводились многодневные соревнования по спортивному ориентированию «АИСТ» памяти Александра Стовбы.